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日記

3乗すると8になる数

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2017年02月20日

3乗すると8になる数は、実数値2以外にも複素数の範囲に2個ある。何をいまさらという感じだが…

図1

図2

要するに、ある虚数を2乗すると大きさが2乗、角度が2倍になり、
ある虚数を3乗すると大きさが3乗、角度が3倍になる……という感じ。

以下のページを見て3次多項式の根を求めるプログラムを作るとき、この事を思い出したのであった。
https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Algebraic_solution

テキトウに作ったプログラム: https://sourceforge.net/p/playpcmwin/code/HEAD/tree/PlayPcmWin/WWMath/BairstowPolynomialRootFinding.cs

(2017年3月7日追記: テキトウすぎて、出てくる値の精度が低いです。)

関連記事

“Microsoft Mathematics”
http://community.phileweb.com/mypage/entry/2721/20110117/22393/

“虚数”
http://community.phileweb.com/mypage/entry/2721/20140426/42266/

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  1. こんばんは。
    オイラーの公式で書くと解は2exp(i0)、2exp(i2/3π)、2exp(i4/3π)の3つですね。
    ところでこの三乗根問題はオーディオ的にはどの計算で出てきますか、とか言うのは愚問ですかね。

    byテナガザル at2017-02-22 00:22

  2. おはようございます。

    この問題は、オーディオ用のローパスフィルターを設計するとき、インパルス不変法で連続時間ローパスフィルターから変換して作ったIIRフィルターの伝達関数の零の位置をプロットするときに出てきました。

    byyamamoto2002 at2017-02-22 08:19

  3. こんにちは。
    私はFIRしか使ったことがなく、IIRはありません。IIRの利点は色々あるのでしょうが、ハードウエア的にはちょっと実装が難しいからです。

    そこでお聞きしたいのですが、仮に実装上の制約がないとすると、FIRとIIRは何を基準にして選択されますか。

    by如月 at2017-02-22 18:12

  4. こんばんは。

    FIRとIIRについて、教科書には選択のための材料が書いてありました。私はその中で、IIRは、歴史の長いアナログフィルター回路設計の技法がそのまま流用出来、アナログ回路とよく似た動作をするデジタルフィルターを作ることができるというところに魅力を感じました。今は、実際に動かしながらIIRのことを勉強しています。まだ内容を理解できていないところがあります。FIRとIIRの両方を理解して、使える状態になったら選択できるようになるのかなぁと想像しました。

    byyamamoto2002 at2017-02-22 21:08

  5. 続きです

    IIRフィルターの利点について、計算量が少なくて効率的という特徴がありますが、CPUのスレッド1本でIIR処理して処理が十分に速くない場合にマルチコアCPUやGPGPUを生かした並列化をしようとすると、FIRのように単にテキトウに大きい単位で処理を分割して各コアに割り振ることができず組み直しになり、FIRのように簡単にはスケールしないので、FIRよりも処理時間が長くかかるプログラムができる可能性があると思いました。

    byyamamoto2002 at2017-02-22 21:31

  6. なるほど。教科書を書いている人は、おそらく自分で実際のIIRやFIRを作っていないので、読んでいて机上の話だなあと感じます。それで実際に作っている方の判断基準を、お聞きしたかったのです。

    IIRの零点で何が起きるかは、理論的には興味ありますが、工学的には厄介な問題になるのかなあと思うので、ちょっと敬遠してしまいます。

    by如月 at2017-02-22 22:48

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