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2012年04月28日

前回までのあらすじ

Ｑ　何で単発サイン波なんですか？
Ａ　SPの特性計測に単発サイン波を使った話から派生したので。
　　それと計算しやすかったからです、信号はなんでも構いません。

Ｑ　フーリエ変換とか関係ないんじゃ
Ａ　サンプリング周波数fsで標本化をするという行為が
　　元信号をフーリエ級数展開した項の
　　係数F(ω)をどこまで記録するかに繋がります。


『標本化周波数が 2f 以下であった場合、原信号にはない偽の周波数 がエイリアス信号として、復元信号に現れる。よって、連続信号の標本化においては、ナイキスト周波数 2f よりも高い周波数で、標本化を行わなくてはならない。』
（wikiより）

これは元波形のフーリエ級数展開が2f以内で収束しない場合に
2f以下でサンプリングするとエイリアス歪（折り返し歪）が出るよという事です。



自分はデジタル信号技術を全否定しているという事ではありません。
1980年以前に研究され、80年代にCDを世の中に出した当時の技術者の方々の功績は輝かしい物であり、ネットなど無いのは勿論の事、技術資料も少なく
当時の国家予算で造るようなスパコンを凌ぐPCが各家庭に１台あったりなどしなかったわけです。
また技術的制約は遥かに大きかったわけですから
サンプリング周波数に対して多少足りていないのではと言われた所でその光彩が幾ばくも失われるものではありません。



前々回単発サイン波の計算結果を出しましたが
他の関数を想定したり積分し直すのは面倒なので、エクセルのパラメータを変えて波が10周期続く信号を考えます。
これなら少しは音楽信号に近づいたでしょうか？

自分が言いたい事は、音楽信号は無限に続く連続サイン波などではあり得ず
むしろON/OFFの繰り返しで不連続な波形になっているよという事で
不連続な波形は「周波数成分」が超高域まで伸びるという事
そしてその周波数成分を途中で打ち切ったら元の波形は再現しないという事です。


サンプリング周波数44.1kHzとして、各周波数の10周期サイン波を入力します。
出力波形と書いていますが記録可能な波形の事で、理想的にはこの形で出力できるというグラフです。
またこれは計算値なので、現実の電気信号はこれより崩れます。



・3.68kHz
山の形が変に見えるのはエクセル側の問題です。
かなり綺麗な波が出力できます。
理想計算なので、こんなものでしょう。


・5.51kHz
立ちあがりと立ち下がりで若干うねっていますが、概ね完璧です。
もしもこれすら許せないとおっしゃる人がいる場合、CD規格では5kHzすらNGです。


・11.02kHz
やや変な形が出てきました。
ただしこれなら許せるでしょうか。
許せない人はCD規格で11kHz以上はNGです。


・14.7kHz
裾野がうねうねしてきました。
ただし問題はそっちよりむしろ「波の概形が崩れてきた」事です。
ゼロ近傍の波よりも全体の波形が揺れている方が耳につく可能性があります。
ただ許せる人は多いでしょう。


・16.96kHz
だいぶ崩れてきました。
本来出力したい波形からはズレています。
この微妙な変化が録音時に本来の音を崩している可能性は否定できません。


・22.05kHz
サンプリング周波数44.1kHzで記録できる信号の上限です。
山が潰れて裾野が広く伸びています。

このグラフを見て

＞酷いと感じた方
サンプリング定理により再現できるのは22.05kHzの連続正弦波です。
22.05kHzのサイン波信号が見えているので理論通りです。
無限に続く連続正弦波を入力すれば出力信号は一致します。

＞綺麗でおかしいと感じた方
22.05kHzでは連続した単なるサイン波しか出せないはずなのに
若干なりとも形状が再現出来てるのはむしろ変だと思われた方は正しいです。
実際にはこのグラフの外側に同じ波形が繰り返し存在します。
つまりその周期の長周期成分(低周波)が存在するため、
信号は単純なサイン波にはならず、元の信号を僅かに再現します。


流石に22.05kHzは理論値上限なので酷くなるのは当然として
問題はその下を幾つまで許せるかですね。
ゆるく言えば全部ＯＫと言えますが、
残念ながら「フォーマットの話」なので
僅かでも波形が変化するならＮＧとみなす方がHi-Fi(高忠実度・高再現性)です。
より忠実に現実の音を記録するHi-Fi規格を目指すのであれば
個人的には理論値くらいは綺麗であって欲しいものです。


色々書いていますが、自分はCDメインで楽しんでいます。
○○だからCDは聴いてられない！と言っているわけではありません。
どーせ他の劣化要因の方が大きいです。

ただ音源のフォーマット(記録方式)は良ければ良いに越した事はないでしょう。
またいかにデジタルといえど、様々な処理をかける程劣化していくのは間違いないですから、24bit/192kHzのマスター音源などを手に入れられる方は幸せだと思います。




次に10周期サイン波の周波数を22.05kHzに固定します。
サンプリング周波数fsを変えていった場合、記録・再現される波形がどのように変わるかを赤線
そしてその時に含まれる「最も高い周波数成分ωmax」を青線で示しました。
※ただし強度は非常に弱いため、適当に振幅を引き延ばして図示しています。
※実際は高域の周波数成分は-20dBとか-30dB程度の小さな値です。


fs 44.1kHz
CD規格です。
赤線は周波数がズレています(折り返し歪)がそれも愛嬌です。
記録できる限界の周波数なので仕方ありません。
いつ信号が入っていつ信号が終わっているのかよくわかりません、まあ愛嬌です。
折り返し歪が入る理由は、元波形に22.05kHz以上の周波数成分があるからです。


fs 88.2kHz
この時点でかなり綺麗になります。
単発サイン波の時は４倍とか８倍と言っていたくせに今回は２倍でもそこそこ見れます。
これは何故かと言うと、単発サイン波よりも10周期サイン波の方が
より連続正弦波に近いからです。
出力一定の連続正弦波(22.05kHz)であれば当然fs=44.1kHzで再現可能です。


fs 176.4kHz
これだけ綺麗なら理論的には十分ではないかと思います。
忘れてはいけない事として、この赤線の波形には青線の周波数成分が含まれているという事です。


fs 264.6kHz
綺麗な波形が出力され、無音部の表現もほぼ言う事ありません。
22.05kHz以下の周波数を持つ波で構成された音楽信号はどんとこい！
といった安心感すら感じられます（笑）
繰り返しますが、青線の周波数成分まで考慮しないと赤線は再現できません。

※赤線と青線の縦軸は全くスケールが違います。
※青線は数十dB小さい波形を大きく拡大したもの。



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蛇足ですが

途中で高域を切ってしまうと波形が崩れるという事で
超高域を付加してくれるソフトなりハードが存在しますが
CDを正しく再生しても微妙に再現しないという立場に立てば
それらの製品群も又オカルトではないと思います。
ただし単にランダムノイズを付加して元の波形が再現できるわけではありませんから
たまたま良くなって聴こえる場合もある、という理解に留まります。